154. Matematyka parkingowa 4 wrzesień 2008 (czwartek)

Nie, nie będzie o tym, że siedząc na parkingu w samochodzie, rozwiązuję zadania matematyczne. AŻ tak zboczony nie jestem. Będzie o czymś zupełnie innym.

Jako rasowy konsument, przyzwyczaiłem się już do tego, że więcej znaczy taniej. I tak jest ze wszystkim. Kupujesz małą butelkę szamponu płacisz 3 złote. Kupując dwa razy większą butelkę płacisz już nie 6, ale 5 złotych. Kupujesz dużą paczkę kawy nie płacisz proporcjonalnie więcej niż za odpowiednio mniejszą paczkę kawy, ale zazwyczaj mniej. Kiedy nabywasz całą paczkę jakiegoś produktu, często jest tak, że wychodzi to taniej niż gdyby kupowało się pojedyncze sztuki. Linie autokarowe wprowadzają promocje w stylu “co czwarty przejazd za pół ceny”, a nawet PKP za przejazd odcinkiem trzydzieści razy dłuższym pobiera opłaty góra kilkanaście razy większe. Wycieczki zorganizowane dostają zniżkę na bilety do kin. Za kartę “Simplus” wartą 150 zł możemy wygadać 180 zł.

I tak dalej. Przykłady można by mnożyć. Zasada “im więcej tym taniej” wdarła się do naszego kapitalistycznego świata i za nic w świecie nie chce z niego zniknąć. Zresztą, nikt z tego powodu nie cierpi, a ulubieli ją sobie szczególnie sąsiedzi (bądź rodzina), na spółę kupujący trzykilogramowe wiadro keczupu albo zbiorcze opakowanie ciastek czy cukierków, co i nam się nieraz przydarzało.

Nikogo to nie dziwi, że skoro producent (bądź usługodawca) pozyskał klienta, to chce zachęcić do zakupu większej ilości towaru – nawet jeżeli za ten dodatkowy towar zysk będzie już nieco mniejszy. Wszak w cenę małej butelki napoju 0,5 L za 1,50 wchodzi (oprócz samego napoju) opakowanie, transport, reklama, koszty jakichś testów itd; w skład dużej (2 L i kosztującej powiedzmy 3 zł) – to samo (i za to płacimy 1,50) i do tego za dodatkowe 1,50 dostajemy 1,5 litra napoju. 

Ale jest jedna grupa usług, która reguły “im więcej, tym taniej” nie stosuje. To płatne parkingi. Rzadko z nich korzystam, ale zauważyłem, że np. na wrzesińskim rynku płacimy 2 zł za godzinę i 4,40 za dwie godziny (!). Podobnie jest na podziemnym parkingu pod Placem Wolności w Poznaniu. O ile dobrze pamiętam, tam jest jeszcze bardziej drastyczna dysproporcja – 2 zł za godzinę i 5 zł za dwie godziny. Podejrzewam, że tak jest wszędzie.

Dlaczego? Sprawa otwarta. Polityka parkingowa miasta rządzi się własnymi prawami. Zapewne istnieje jakieś racjonalne wytłumaczenie dlaczego władze miejskie postępują właśnie w taki sposób. Być może chodzi o zniechęcenie ludzi do długich postojów w centrum (i zwolnienie miejsca dla innych chętnych), być może o wykorzystywanie monopolistycznej pozycji, a może o coś jeszcze innego. Fakt faktem jednak – ekonomia parkingowa to dziwoląg i ewenement na rynku.

139. π 21 lipiec 2008 (poniedziałek)

Dzisiaj opowiem wam o pewnym filmie. Filmie, którego główną bohaterką jest… liczba. Liczba znana powszechnie jako “Π”, zwana też czasem ludolfiną bądź stałą Archimedesa. Ponieważ jednak z zawodu jestem matematykiem, nie mogę powstrzymać się od krótkiego moim zdaniem (i zdecydowanie zbyt długiego jeśli wysilę się i spojrzę obiektywnie) rysu “biograficznego” tej liczby.

Liczba ta znana jest ludzkości od mniej więcej 3900 lat. Co prawda Babilończycy, którzy ją jako piewsi wyznaczyli, ostro rypnęli się przy jej szacowaniu, niemniej jednak śmiało można rzec, że Π jest stara jak świat. Czym mniej więcej jest – wszyscy wiedzą. Bierzemy dowolny okrąg. Gdybyśmy mogli dokładnie zmierzyć jego długość (co jest niewykonalne) i podzielili ją przez średnicę – wynik zawsze wynosił będzie Π, niezależnie od średnicy. Jednakże takie powierzchowne potraktowanie tej liczby byłoby dla niej krzywdzące. Zastosowań w geometrii ma ona bardzo wiele. Przydaje się do obliczania pól powierzchni, obwodów i objętości okręgów, kół, kul, sfer, elips, walców, stożków, geoid, beczek i praktycznie wszystkich figur i brył, które są chociaż odrobinkę gdzieś zakrzywione. Jest niezbędna do wyliczenia długości jakiejkolwiek krzywej, jest też powszechnie używana przy mierzeniu kątów.

Myliłby się jednak ten, kto myśli, że jej zastosowania kończą się na geometrii. Π pojawia się w miejscach, gdzie wydaje się że nie ma prawa się znajdować. Weźmy sobie taki przykład: dodajemy jedną całą, jedną czwartą, jedną dziewiątą, jedną szesnastą, jedną dwudziestą piątą itd. Wynik przemnażamy przez 6, a następnie pierwiastkujemy. Wynik będzie wynosił (w przybliżeniu) Π, przy czym przybliżenie będzie tym dokładniejsze im więcej liczb do siebie dodamy. Tego typu zbieżności jest dużo więcej. Poza tym, Π przydaje się np. do przybliżonego obliczania dużych silni (czyli obliczeń typu 1*2*3*4*5*6…). Co więcej; liczba ta przydaje się też w fizyce; uwikłana jest np. we wzory ogólnej teorii względności. Zapewne również chemicy, geologowie, biolodzy molekularni czy inni naukowcy używają od czasu do czasu wzorów zawierających w sobie tę magiczną liczbę.

W matematycznym świecie niewiele jest takich liczb jak Π. Zaskakują już jej najbardziej podstawowe właściwości. Że po przecinku następuje nieskończona litania cyfr każdy chyba wie. Mówiąc fachowo, liczba π ma nieskończone rozwinięcie okresowe. Ale to jeszcze nie koniec atrakcij. Okazuje się bowiem, że owa kaskada liczb (użycie słowa “kaskada” ma celne uzasadnienie – w zapisie dziesiętnym każda cyfra ma 10 razy mniejsze znaczenie aniżeli poprzednia) nie wykazuje żadnej regularności. Kolejne cyfry wydają się być zupełnie losowe i nie wykazują żadnej, najmniejszej chociaż, regularności. Owa losowość i brak regularności wśród cyfr liczby Π to objaw jej niewymierności. Dla tych, u których zadziałał mechanizm wyparcia i z matematyki nic nie pamiętają przypominam, że niewymiarnosc Π oznacza, nie można jej obliczyć dzieląc przez siebie jakiekolwiek dwie liczby całkowite. Odkryto to w 1761 roku, a około 120 lat później na jaw wyszło kolejne dziwactwo tej liczby – nie idzie jej wyznaczyć nie tylko przez dzielenie, ale także dodawanie, odejmowanie, mnożenie, potęgowanie i pierwiastkowanie jakiejkolwiek skończononej ilości liczb całkowitych. Więcej: liczby Π nie można też wyliczyć poprzez jakąkolwiek kombinację skończonej ilości tych działań. Liczby takie nazywamy przestępnymi. Liczb przestępnych jest nieskończenie wiele, ale tylko dwie zrobiły wielką karierę – Π oraz tzw. stała Napiera (liczba e, w przybliżeniu równa 2,78), być może nieco mniej sławna od swojej krewniaczki, nie ustępująca ani troszkę w kwestii bycia interesującą i przydatną matematycznie liczbie Π.

Wspomniałem już o tym, że kolejne cyfry Π następują po sobie w zupełnie losowy sposób. Co więcej, można znaleźć w nich (prawdopodobnie) dowolną zadaną kombinację cyfr. Powstało sporo serwisów, które na celu mają pomóc w sprawdzeniu czy w liczbie znajduje się np. nasza data urodzin. Przykład takiego serwisu – tu. Jeżeli jakiejś kombinacji nie znajdziecie w tym serwisie – nie oznacza to, że jej nie ma wcale w Π. Strona ta bowiem obsługuje “tylko” pierwszych 200 milionów cyfr po przecinku, a znanych jest ich (o ile trafiłem na aktualne źródło) ok. biliona. Zapisanie wszystkich ich na twardym dysku wymagałoby urządzenia o pojemności 931 GB. Obliczanie kolejnych liczb po przecinku ma jednak już tylko znaczenie czysto teoretyczne i wynikają z chęci zaimponowania komuś, bowiem doprawdy rzadko kiedy przydają się komukolwiek cyfry powyżej 20 pierwszych (a w naszym codziennym życiu wystarczą tylko dwie pierwsze… chociaż i tak pewnie ogromna większość ludzi NIGDY po opuszczeniu szkolnych murów tej liczby do niczego nigdy nie użyła).

Setki innych ciekawostek wiążą się z tą liczbą. To, co napisałem, to nawet nie jedna dziesiąta tego, co można napisać o tej liczbie bez całego matematycznego bełkotu i nawet nie jedna tysięczna tego, co można opowiedzieć stosując skomplikowane wzory i obliczenia. Nie czas ani miejsce teraz na przytaczanie dziesiątek wierszyków mających za zadanie ułatwienie zapamiętywania kolejnych cyfr rozwinięcia liczby π. Istnieją też bardzo sprytne (i ciekawe z punktu widzenia “ścisłowca”) sposoby na przybliżone obliczenie tej liczby, ale nie ma co zanudzać nimi szanownych czytelników. Kto chce, może zerknąć na wikipedię (najlepiej angielską, która tradycyjnie jest bardziej wyczerpująca niż polska), gdzie znajdzie sporo ciekawostek, ale też i niemało przydatnych linków.

Przechodzimy jednak do filmu. Daren Aronofsky to jak dla mnie genialny reżyser, znany także z filmów takich jak “Reqiuem dla snu” czy “Źródło”. Jego filmy chrarakteryzują się niepowtarzalnym klimatem i są zupełnie inne aniżeli wszystko to, co prezentują nam inni reżyserzy. “Π” powstał przed dwoma w/w dziełami. Kręcony charakterystyczną taśmą – mało, że czarno białą, to jeszcze z charakterystycznymi zakłóceniami i dziwacznym kontrastem, co sprawia, że mamy wrażenie, że mamy do czynienia z filmem bardzo, bardzo starym – może nawet i przedwojennym.

Głównym bohaterem jest Max Cohen, genialny matematyk, który cierpi na nasilające się bóle głowy. Człowiek ten zajmuje się szukaniem we wszechświecie jakiegoś porządku, szuka jednej jedynej reguły nim rządzącej. Przekonany jest, że wszystko, co nas otacza, wszystko, co dookoła siebie spotykamy, wszystko co się zdarzyło i co się zdarzy, można przewidzieć, bo rządzone jest tajemniczą zasadą, głęboko powiązaną z liczbą Π. Jego poszukiwaniami wyraźnie zainteresowana jest duża korporacja, a także religijna sekta żydowska, próbująca właśnie tą regułą odnaleźć i zrozumieć Boga. W trakcie swoich badań Max zauważa jednak coś dziwnego: im bliżej jest odkrycia tej zasady, tym bardziej nasilają się jego bóle głowy, skoncentrowane w jednym, szczególnym jej punkcie. Być może właśnie tam znajduje się ta poszukiwana przez niego tajemnica?

Film zupełnie inny od wszystkiego, co widziałem dotychczas. Oryginalny scenariusz, nietypowe ujęcia (jak pisałem, kręcone wyjątkową taśmą) połączone charakterystycznym montażem, świetna reżyseria i mocno dająca po głowie oprawa dźwiękowa, świetnie wkomponowana w całość filmu i doskonale korespondująca z chorymi snami bohatera i jego narastającą paranoją na jawie. Film jest doprawdy wyjątkowy. Do tego wszystkiego dodać należałoby jeszcze pokręcone dialogi, zahaczające o różnego rodzaju wierzenia czy też matematyczne ciekawostki. Żałuję, że właśnie tych matematycznych wtrętów jest tak mało i to jeden z niewielu minusów tego filmu.

Ogólnie oczywiście polecam, jednak zwracam uwagę na jeszcze jedną rzecz: bardziej film chyba do gustu przypadnie wszelakiego rodzaju “humanistom” aniżeli “ścisłowcom”. A to dlatego, że opiera się w dużej mierze o przeżycia wewnętrzne bohatera, jego relacje z otaczającym światem oraz to, czego świat oczekuje od nas i co my możemy dać mu w zamian. Jest świetnym punktem wyjścia do różnych refleksji i filozofowania. Matematyczna strona została troszkę zaniedbana (a nawet lekko przekłamana), dodatkowo bardziej racjonalni z natury ścisłowcy burzyć mogą się przeciwko prezentowanej magii liczb i boskiej harmonii w filmie pokazanej. Ale i tak na pewno warto obejrzeć, bo “Π” to kawał dobrej roboty.

132. Gorzka prawda o grach liczbowych 3 lipiec 2008 (czwartek)

Matematyka, kojarzona przez wielu z jakże nudnymi równaniami, skrajnie absrakcyjnymi wielościanami i śniącymi co poniektórym po dziś noc sinusami, osobie będącej obeznaną ze wszystkimi jej podstawowymi arkanami i podchodzącej do sprawy z odpowiednim luzem i wyczuciem tematu, może dać sporo radości, szczególnie kiedy obserwuje się zmagania osób, które o matematyce zielonego pojęcia nie mają, ale jakimiś pseudomatematycznymi metodami próbuje zrobić coś konstruktywnego, będąc święcie przekonanym, że właśnie wydziera się wszechświatowi wielką tajemnicę.

Ludźmi takimi są ponad wszelką wątpliwość ci, którzy szukają magicznego systemu wygrywania w totolotka. Zanim zacznę jeszcze cokolwiek pisać, przypomnę może króciutko jakie jest prawdopodobieństwo trafienia “szóstki” w totka. Wyobraźcie sobie zegarek, taki budzik na baterie, który tyka co sekundę. Tyk-tyk-tyk i tak przez pół roku. W odpowiednim miejscu trzeba teraz rzec “STOP”. Jeden z tych “tyków” to szóstka w totolotka. Jeżeli trafiłeś – gratuluję. Możesz zacząć grać, masz widocznie szczęście. Przykład drugi: niech dany będzie odcinek drogi o długości 14 km. Podzielmy ten odcinek na 1mm odcineczki. Wybieramy na chybił trafił jeden taki mały odcinek. Jeżeli wybrałeś właściwy – gratuluję, to tak jakbyś trafił szóstkę w totka.

Szansa trafienia jest tak abstrakcyjnie niska, że mój profesor od rachunku prawdopodobienśtwa ze studiów nazywał totolotek “dobrowolnym podatkiem od głupoty”. I dużo się nie pomylił. Daleki jednak jestem od śmiania się z osób, które raz w tygodniu wysyłają kupon w nadziei na to, że za kilka dni ich życie zmieni się na lepsze. Wręcz przeciwnie – sam tak robię. Prawdziwym powodem mojego ubawu są ludzie, którzy próbują różnymi magicznymi sposobami zwiększyć prawdopodobieństwo trafienia upragnionej “szóstki” albo chociaż “piątki”. Od razu napiszę: WSZYSTKIE bez wyjątku systemy totolotka są gówno warte. Skuteczny i wydajny system gry w totolotka nie istnieje (koronny dowod – osoby, ktore je sprzedaja, zarabiaja na ich sprzedazy, a nie na ich stosowaniu).

“Systemy” krążące głównie po internecie (bądź -co gorsza – oferowane na sprzedaż np. w gazetach) możemy z grubsza podzielić na trzy grupy:

I. Systemy progresywne – stosowane głównie w multilotku. Wybieramy sobie jakąś liczbę/parkę i czekamy aż wypadnie. Jeżeli nie wypadnie – podbijamy stawkę, obstawiamy tę samą parkę i czekamy dalej. I tak aż do wygranej. Ciekawe tylko co się będzie działo, jeżeli dana liczba nie wypadnie przez kilka tygodni? Codziennie podbijana stawka musiałaby wynieść już kilka(dziesiąt) tysięcy złotych… Powiedzmy wprost: systemy progresywne stosowane w multilotku są systemami stratnymi, tzn. grając nimi na dłuższą metę ZAWSZE będziemy stratni. I nie ma od tego ucieczki.

II. Systemy rozpisowe – bierzemy “z sufitu” (albo też z innych, równie mało wiarygodnych źródeł – patrz grupa trzecia) sześć liczb i rozpisujemy je (możliwy jest rozpis pełny lub skrócony) na wszystkie możliwe “czwórki”, “trójki” i “piątki” występujące w owych sześciu liczbach. Gwarantuje nam to o wiele wyższe wygrane w przypadku trafienia czwórki piątki lub szóstki, niż gdybyśmy nie rozpisywali owych sześciu liczb, zatem przy trafieniu “zaledwie” czwórki mamy już całkiem przyzwoity zysk. Pozostaje jednak nadal główne pytanie – jak trafić to 4, 5 lub 6 liczb z 49?

III) Systemy opierające się na statystyce dotychczas wylosowanych liczb – tutaj właśnie mam największy ubaw. W tych systemach “analitycy” badają zależności pomiędzy dotychczas wylosowanymi liczbami i na tej postawie typują liczby do następnego losowania. Właśnie dzięki ich pracy powstają “kwiatki” typu:
- Liczby nieparzyste wypadają częściej na początku miesiąca
- Siódemka, jeżeli wchodzi, najczęściej wchodzi razem z 24 i 37
- Jedenastka ma dobrą passę, w ostatnich 10 losowaniach była losowana 8 razy, jest więc “na fali” i trzeba to wykorzystać.
Niestety, tego typu metody nie mają większej trafności aniżeli wróżenie z fusów, ciągnięcie słomek czy typowanie liczb na podstawie numeru przypadkowo otwartej strony w książce; nie zraża to jednak zapatrzonych w wizję ogromnych wygranych entuzjastów gier liczbowych, którzy wciąż wypatrują nowych zależności. Przypomina to troszkę szukanie igły w stogu siana z tą drobną różnicą, że w totolotkowym stogu igły nie ma. Lata badań “analityków” i ich ogromny wysiłek idą na marne. Z naukowego punktu widzenia cała “matematyka totolotkowa” jest dobrze poznana i nie ma tu nic do odkrycia. W zasadzie rządzi tutaj tylko jedno prawo i wystarczy je sobie dobrze przyswoić:

WYNIKI DOTYCHCZASOWYCH LOSOWAŃ NIE WPŁYWAJĄ NA WYNIKI KOLEJNYCH, GDYŻ SĄ TO ZDARZENIA NIEZALEŻNE!

Trzeba jednak przyznać, że od czasu do czasu owym poszukiwaczom zależności trafi się “ratytas”, jak np. afera srebrnych kul w totolotku w drugiej połowie lat 90-tych. Okazało się bowiem, że dzięki zawartemu w srebrnych kulach barwniku, są one dwukrotnie rzadziej przyciągane do maszyny losującej aniżeli inne kule. I co? I nic. Nawet bowiem dysponując taką informacją, nie jesteśmy w stanie znacząco zwiększyć prawdopodobieńśtwa wygranej. Zresztą, kule zostały wymienione i obecnie wszystkie kule do multilotka są żółte, na dodatek są regularnie wymieniane aby mechaniczne uszkodzenie którejś z kul nie spowodowało, że będzie ona częściej/rzadziej losowana.

Powiem jeszcze, że jest jednak szansa, aby zwiększyć swoją wygraną. Specjaliści (jak chociaż polski matematyk Hugo Steinhaus w swoim “Kalejdoskopie Matematycznym”) zwracają uwagę, że wielu ludzi uwielbia zaznaczać liczby ze środka kuponu i raczej nie za duże. Zatem jeżeli trafi się szóstka złożona właśnie z takich liczb, wygraną prawdopodobnie trzeba będzie podzielić na kilka(naście) osób. Należy zatem grać liczbami rzadziej obstawianymi – w przypadku wygranej nie trzeba będzie się wtedy z nikim nią dzielić. Niemniej jednak ani o ułamek procenta ta metoda nie zwiększa prawdopodobieństwa, że w ogóle upragnioną szóstkę trafimy.

Jaki więc system w totolotka jest najskuteczniejszy? Wszystkie polskie gry liczbowe (zresztą nie tylko polskie) ogólnie są grami wysoce stratnymi, innymi słowy są bardzo (ale to bardzo!) obliczone na zysk organizatora. Bo kilku miesiącach przemyśleń i obliczeń z bólem doszedłem do wniosku, że jeżeli w ogóle grać to najlepiej tak, jak grają miliony Polaków – mierzyć w wysokie wygrane i grać małymi stawkami. Bardziej opłaci się grać IMO w ekspress lotka – wygrane dużo niższe (ale i tak dość atrakcyjne – główna wygrana oscyluje często w okoliach 150 000 zł), ale i szansa wygranej znacząco większa. No i kupon kosztuje 1,25 a nie 2 zł. Bardzo ważne: nie kombinować – typować takie liczby, jakie nam podpowiada instynkt i nie rozpisywać ich na jakieś niewiarygodne kombinacje, a już na pewno nie grać progresją. Szczególnie wskazane grać w kumulacjach – wygrane są bowiem wówczas dużo większe. Być może wówczas staniemy się milionerami (chociaż nie liczyłbym na to), a nawet jeśli nie – przegrana złotówka raz w tygodniu z pewnością nie będzie powodem do osobistych tragedii ani rozczarowań. Najważniejsza jest dobra zabawa, no i to bicie serca w sobotni wieczór podczas oglądania Polsatu w nadziei na wysoką wygraną, której sobie i wam życzę.

128. Moja nowa zabawka 29 czerwiec 2008 (niedziela)

Doczekałem się nowej zabawki. W zasadzie to dwóch od razu. Kupiłem bowiem sobie dwie kostki Rubika. Oryginalne, firmowe, żadne chińskie podróby. Jedna – to taka klasyczna 3×3x3. Z podstawką i napisem “RUBIK”. Chodzą takie po 45 zł na Allegro. Jest cudowna, chodzi miękko i przyjemnie, układa się o niebo lepiej od chińszczyzny. Zdecydowałem się na ten zakup po tym, jak moja ostatnia kostka, kupiona na bazarze za 4,50, dosłownie rozsypała mi się w rękach tego samego dnia popołudniu (!). Owszem, zdarzało mi się że kostki się rozlatywały, ale było to powiedzmy po kilku tygodniach intensywnego mieszania. Tym razem jednak wkurzyłem się nie na żarty. Wszedłem na allegro, kupiłem właśnie taką full-wypas oryginalną kostkę, przy okazji jednak zakupiłem inny model – kostkę 2×2x2. I o niej teraz na napiszę.

Erno Rubik, węgierski wynalazca, poczatkowo chciał właśnie takie kostki wypuścić na rynek. Z powodów czystko technicznych na rynek wyszła jednak kostka 3×3x3, dużo trudniejsza do ułożenia, ale też i dużo łatwiejsza w zaprojektowaniu. Kto kiedykolwiek rozebrał kostkę, wie mniej więcej jak ona działa. Kostka 2×2x2 jest zbudowana na innej zasadzie (szczerze mówiąc, nie mam pojęcia jakiej… ale na pewno dużo bardziej skomplikowanej), jest zatem widocznie trudniejsza w produkcji. To jedna z moich teorii na temat tego, dlaczego kostki 2×2x2 nie są zbyt popularne. Drugie z moich przypuszczeń opiera się na tym, że że w odróżnieniu od klasycznej “dużej” kostki, ta została opatentowana i dlatego właśnie nie ma ich na ruskich bazarach ani w sklepach “wszystko za 4,50″. Można tylko kupić oryginalną kostkę za 27 zł. Wydają się być łatwiejsze do ułożenia od klasycznej “rubikówki”, ale to tylko pozory. Owszem, łatwiej jest ją ułożyć, co wcale nie oznacza, że człek nie mający nigdy w życiu kostki w rękach da radę to zrobić. Co to to nie. Można się zamotać niesamowicie i nigdy przenigdy bez odpowiedniego przygotowania z tego wyjść się nie da. Pod tym względem zatem od klasycznej kostki nie różni się zbytnio. Nie różni się też i pod innym względem: algorytmy układania “małej” i “dużej” kostki są bardzo, bardzo podobne. Tyle tylko, że układając kostkę 2×2x2 pozbywamy się wszystkich problemów związanych z układaniem kantów (przypomnienie: kanty to takie elementy, które posiadają dwie kolorowe ścianki, w odróżnieniu od narożników i środków), zatem trwa to nieco krócej. Dodatkowo, niespodziewanie, pojawiają się problemy, które na “normalnej” kostce nie pojawiają się. NIemniej jednak – kto umie ułożyć dużą kostkę, poradzi sobie z małą i ja układam ją w ok. 40 sekund (dużą – ok. 2 min. 15 sek. co wynikiem imponującym na pewno nie jest, ale i tak wystarczy, aby każdy kto to widzi pierwszy raz w życiu, wytrzeszczał gały i pytał z podziwem “jak ty to robisz?”… nie ma niczego przyjemniejszego dla połechtania próżności).

Ale kostka, czy to mała, czy to duża, posiada dla osoby posiadającej zboczenie matematyczne, wartość milion razy większą niż sama przyjemność z jej ułożenia. Poszczególne jej klocki bowiem cały czas się przemieszczają… właściwie nie powinienem tak pisać. Napiozę ładniej. Przy każdym obrocie kostki następują permutacje. Kilkukrotny obrót kostki to złożenie kilku permutacji. Olbrzymią satysfakcję daja kartka papieru, kilka hipotetycznych ruchów, 2-3 minuty obliczeń, a następnie sprawdzenie tego, czy wynik zgadza się z przewidywaniami. Można w ten sposó opracowywać nowe ruchy i przekształcenia na kostce, nawet jej nie ruszając. Swojego czasu byłem tym tak zafascynowany, że chciałem pisać magisterkę, ale ze względu na to, że polska literatura liczy aż jedną pozycję, zmuszony byłem darować sobie. Ale i tak od czasu do czasu bawię się w składanie permutacji i opracowywanie nowych ruchów. Tak, dla rozruszania szarych komórek, zamiast sudoku czy krzyżówy. A kostka 2×2x2 jest do tego lepsza od 3×3x3, bo mniej tu niespodzianek i łatwiej wszystko wyliczyć.

Podam moze przyklad. Jeżeli obrócimy górną ściankę kostki 2×2x2 w lewo (za każdym razem, kiedy piszę “w lewo” mam na myśli “zgodnie z ruchem wskazówek zegara”), a potem prawą ściankę też w lewo i tak na 15 razy na przemian, to dojdziemy do stanu wyjściowego. Ale jeżeli obrócimy górną ściankę w lewo, a prawą ściankę – w prawo, to wystarczy zrobić to tylko 9 razy, aby kostka wróciła do stanu wyjściowego. Troszkę obliczeń, rysunków, szacunków, teorii aż w końcu zrozumiałem dlaczego tak jest. Człek się czuje prawie jak naukowiec dokonujący ważnego odkrycia. Najpierw tworzy się teorię, potem sprawdza czy zgadza się z przewidywaniami. Jeśli nie – modyfikuje się teorię i działa się dalej. Aż w końcu przewidywania zgadzają się z wynikami. I tak co rusz dokonuję nowego odkrycia. I to jest właśnie bezcenne. Nawet jeśli to odkrycie tak naprawdę nikogo nie obchodzi.

72. Jak ułatwic sobie życie? 6 luty 2008 (środa)

Mnozenie pisemne jest działaniem, jakby nie było, upierdliwym. Jest działaniem czasochłonnym, a spora ilość wykonywanych operacji sprawia, że łatwo się rypnąć. Dlatego też bardzo dziwi mnie, że w szkole wciąż uczy się dzieci starej techniki mnożenia w słupkach. Mi udało znaleźć się metodę inną – szybszą i bezpieczniejszą. Wciąż co prawda można się rypnąć, ale na pewno idzie szybciej, a okazji do pomyłki jest dużo mniej. Mam nadzieję, że poniższy filmik wszystko wyjaśni. Dodatkowo informuję, że metoda ta działa dla dowolnie dużych liczb – np. pomnożymy w ten sposób liczbę 5-cyfrową przez 4-cyfrową. Odrobinka treningu i zrozumiecie, że tak naprawdę jest duuuuuuuuuużo wygodniej.