139. π 21 lipiec 2008 (poniedziałek)

Dzisiaj opowiem wam o pewnym filmie. Filmie, którego główną bohaterką jest… liczba. Liczba znana powszechnie jako “Π”, zwana też czasem ludolfiną bądź stałą Archimedesa. Ponieważ jednak z zawodu jestem matematykiem, nie mogę powstrzymać się od krótkiego moim zdaniem (i zdecydowanie zbyt długiego jeśli wysilę się i spojrzę obiektywnie) rysu “biograficznego” tej liczby.

Liczba ta znana jest ludzkości od mniej więcej 3900 lat. Co prawda Babilończycy, którzy ją jako piewsi wyznaczyli, ostro rypnęli się przy jej szacowaniu, niemniej jednak śmiało można rzec, że Π jest stara jak świat. Czym mniej więcej jest – wszyscy wiedzą. Bierzemy dowolny okrąg. Gdybyśmy mogli dokładnie zmierzyć jego długość (co jest niewykonalne) i podzielili ją przez średnicę – wynik zawsze wynosił będzie Π, niezależnie od średnicy. Jednakże takie powierzchowne potraktowanie tej liczby byłoby dla niej krzywdzące. Zastosowań w geometrii ma ona bardzo wiele. Przydaje się do obliczania pól powierzchni, obwodów i objętości okręgów, kół, kul, sfer, elips, walców, stożków, geoid, beczek i praktycznie wszystkich figur i brył, które są chociaż odrobinkę gdzieś zakrzywione. Jest niezbędna do wyliczenia długości jakiejkolwiek krzywej, jest też powszechnie używana przy mierzeniu kątów.

Myliłby się jednak ten, kto myśli, że jej zastosowania kończą się na geometrii. Π pojawia się w miejscach, gdzie wydaje się że nie ma prawa się znajdować. Weźmy sobie taki przykład: dodajemy jedną całą, jedną czwartą, jedną dziewiątą, jedną szesnastą, jedną dwudziestą piątą itd. Wynik przemnażamy przez 6, a następnie pierwiastkujemy. Wynik będzie wynosił (w przybliżeniu) Π, przy czym przybliżenie będzie tym dokładniejsze im więcej liczb do siebie dodamy. Tego typu zbieżności jest dużo więcej. Poza tym, Π przydaje się np. do przybliżonego obliczania dużych silni (czyli obliczeń typu 1*2*3*4*5*6…). Co więcej; liczba ta przydaje się też w fizyce; uwikłana jest np. we wzory ogólnej teorii względności. Zapewne również chemicy, geologowie, biolodzy molekularni czy inni naukowcy używają od czasu do czasu wzorów zawierających w sobie tę magiczną liczbę.

W matematycznym świecie niewiele jest takich liczb jak Π. Zaskakują już jej najbardziej podstawowe właściwości. Że po przecinku następuje nieskończona litania cyfr każdy chyba wie. Mówiąc fachowo, liczba π ma nieskończone rozwinięcie okresowe. Ale to jeszcze nie koniec atrakcij. Okazuje się bowiem, że owa kaskada liczb (użycie słowa “kaskada” ma celne uzasadnienie – w zapisie dziesiętnym każda cyfra ma 10 razy mniejsze znaczenie aniżeli poprzednia) nie wykazuje żadnej regularności. Kolejne cyfry wydają się być zupełnie losowe i nie wykazują żadnej, najmniejszej chociaż, regularności. Owa losowość i brak regularności wśród cyfr liczby Π to objaw jej niewymierności. Dla tych, u których zadziałał mechanizm wyparcia i z matematyki nic nie pamiętają przypominam, że niewymiarnosc Π oznacza, nie można jej obliczyć dzieląc przez siebie jakiekolwiek dwie liczby całkowite. Odkryto to w 1761 roku, a około 120 lat później na jaw wyszło kolejne dziwactwo tej liczby – nie idzie jej wyznaczyć nie tylko przez dzielenie, ale także dodawanie, odejmowanie, mnożenie, potęgowanie i pierwiastkowanie jakiejkolwiek skończononej ilości liczb całkowitych. Więcej: liczby Π nie można też wyliczyć poprzez jakąkolwiek kombinację skończonej ilości tych działań. Liczby takie nazywamy przestępnymi. Liczb przestępnych jest nieskończenie wiele, ale tylko dwie zrobiły wielką karierę – Π oraz tzw. stała Napiera (liczba e, w przybliżeniu równa 2,78), być może nieco mniej sławna od swojej krewniaczki, nie ustępująca ani troszkę w kwestii bycia interesującą i przydatną matematycznie liczbie Π.

Wspomniałem już o tym, że kolejne cyfry Π następują po sobie w zupełnie losowy sposób. Co więcej, można znaleźć w nich (prawdopodobnie) dowolną zadaną kombinację cyfr. Powstało sporo serwisów, które na celu mają pomóc w sprawdzeniu czy w liczbie znajduje się np. nasza data urodzin. Przykład takiego serwisu – tu. Jeżeli jakiejś kombinacji nie znajdziecie w tym serwisie – nie oznacza to, że jej nie ma wcale w Π. Strona ta bowiem obsługuje “tylko” pierwszych 200 milionów cyfr po przecinku, a znanych jest ich (o ile trafiłem na aktualne źródło) ok. biliona. Zapisanie wszystkich ich na twardym dysku wymagałoby urządzenia o pojemności 931 GB. Obliczanie kolejnych liczb po przecinku ma jednak już tylko znaczenie czysto teoretyczne i wynikają z chęci zaimponowania komuś, bowiem doprawdy rzadko kiedy przydają się komukolwiek cyfry powyżej 20 pierwszych (a w naszym codziennym życiu wystarczą tylko dwie pierwsze… chociaż i tak pewnie ogromna większość ludzi NIGDY po opuszczeniu szkolnych murów tej liczby do niczego nigdy nie użyła).

Setki innych ciekawostek wiążą się z tą liczbą. To, co napisałem, to nawet nie jedna dziesiąta tego, co można napisać o tej liczbie bez całego matematycznego bełkotu i nawet nie jedna tysięczna tego, co można opowiedzieć stosując skomplikowane wzory i obliczenia. Nie czas ani miejsce teraz na przytaczanie dziesiątek wierszyków mających za zadanie ułatwienie zapamiętywania kolejnych cyfr rozwinięcia liczby π. Istnieją też bardzo sprytne (i ciekawe z punktu widzenia “ścisłowca”) sposoby na przybliżone obliczenie tej liczby, ale nie ma co zanudzać nimi szanownych czytelników. Kto chce, może zerknąć na wikipedię (najlepiej angielską, która tradycyjnie jest bardziej wyczerpująca niż polska), gdzie znajdzie sporo ciekawostek, ale też i niemało przydatnych linków.

Przechodzimy jednak do filmu. Daren Aronofsky to jak dla mnie genialny reżyser, znany także z filmów takich jak “Reqiuem dla snu” czy “Źródło”. Jego filmy chrarakteryzują się niepowtarzalnym klimatem i są zupełnie inne aniżeli wszystko to, co prezentują nam inni reżyserzy. “Π” powstał przed dwoma w/w dziełami. Kręcony charakterystyczną taśmą – mało, że czarno białą, to jeszcze z charakterystycznymi zakłóceniami i dziwacznym kontrastem, co sprawia, że mamy wrażenie, że mamy do czynienia z filmem bardzo, bardzo starym – może nawet i przedwojennym.

Głównym bohaterem jest Max Cohen, genialny matematyk, który cierpi na nasilające się bóle głowy. Człowiek ten zajmuje się szukaniem we wszechświecie jakiegoś porządku, szuka jednej jedynej reguły nim rządzącej. Przekonany jest, że wszystko, co nas otacza, wszystko, co dookoła siebie spotykamy, wszystko co się zdarzyło i co się zdarzy, można przewidzieć, bo rządzone jest tajemniczą zasadą, głęboko powiązaną z liczbą Π. Jego poszukiwaniami wyraźnie zainteresowana jest duża korporacja, a także religijna sekta żydowska, próbująca właśnie tą regułą odnaleźć i zrozumieć Boga. W trakcie swoich badań Max zauważa jednak coś dziwnego: im bliżej jest odkrycia tej zasady, tym bardziej nasilają się jego bóle głowy, skoncentrowane w jednym, szczególnym jej punkcie. Być może właśnie tam znajduje się ta poszukiwana przez niego tajemnica?

Film zupełnie inny od wszystkiego, co widziałem dotychczas. Oryginalny scenariusz, nietypowe ujęcia (jak pisałem, kręcone wyjątkową taśmą) połączone charakterystycznym montażem, świetna reżyseria i mocno dająca po głowie oprawa dźwiękowa, świetnie wkomponowana w całość filmu i doskonale korespondująca z chorymi snami bohatera i jego narastającą paranoją na jawie. Film jest doprawdy wyjątkowy. Do tego wszystkiego dodać należałoby jeszcze pokręcone dialogi, zahaczające o różnego rodzaju wierzenia czy też matematyczne ciekawostki. Żałuję, że właśnie tych matematycznych wtrętów jest tak mało i to jeden z niewielu minusów tego filmu.

Ogólnie oczywiście polecam, jednak zwracam uwagę na jeszcze jedną rzecz: bardziej film chyba do gustu przypadnie wszelakiego rodzaju “humanistom” aniżeli “ścisłowcom”. A to dlatego, że opiera się w dużej mierze o przeżycia wewnętrzne bohatera, jego relacje z otaczającym światem oraz to, czego świat oczekuje od nas i co my możemy dać mu w zamian. Jest świetnym punktem wyjścia do różnych refleksji i filozofowania. Matematyczna strona została troszkę zaniedbana (a nawet lekko przekłamana), dodatkowo bardziej racjonalni z natury ścisłowcy burzyć mogą się przeciwko prezentowanej magii liczb i boskiej harmonii w filmie pokazanej. Ale i tak na pewno warto obejrzeć, bo “Π” to kawał dobrej roboty.